题目内容
【题目】已知函数
（
，
为自然对数的底数）.
（1）判断函数
的奇偶性；
（2）判断函数单调性并证明；
（3）对任意不等式
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见详解；（2）增函数，证明见详解；（3）
.
【解析】
（1）先判断函数的定义域，然后再分析
之间的关系，从而判断出
的奇偶性；
（2）利用定义法证明的单调性即可；
（3）根据函数的奇偶性将不等式变形，再根据函数的单调性将函数值的不等关系转变为自变量的不等关系，再根据恒成立的思想求解出
的取值范围.
（1）因为的定义域为
，关于原点对称，
又因为
，所以是奇函数；
（2）是上的增函数，证明如下：
任取
且
，
所以
，
因为，所以
，所以
，所以
，
所以是上的增函数；
（3）因为为奇函数且
，
所以
，
又因为是上的增函数，所以
，
所以
对
成立，
所以
，所以
，
所以
.
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天数 | 5 | 10 | 10 | 5 |
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