Question

【题目】已知函数在点处取得极小值－5，其导函数的图象经过点(0,0)，(2,0)．

（1）求的值；

（2）求及函数的表达式．

Answer 1

【答案】（1） ； （2），.

【解析】

(1)对函数求导得到导函数，代入已知点得到参数值；（2）根据到函数的正负可得到函数的极小值点为x=2,由f(2)＝－5，得c＝－1.

(1)由题设可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

∵f′(x)的图象过点(0,0)，(2,0)，∴

解得a＝－3，b＝0.

(2)由f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0，

∴在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0,2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0.

∴f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x＝2处取得极小值．

所以x0＝2.由f(2)＝－5，得c＝－1，∴f(x)＝x3－3x2－1.