Question

1．设全集U=R，关于x的不等式|x+2|+a-2＞0（a∈R）的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设集合$B=\left\{{x\left|{\sqrt{3}sin（πx-\frac{π}{6}）+cos（πx-\frac{π}{6}）=0}\right.}\right\}$，若（∁_UA）∩B中有且只有三个元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式即|x+2|＞2-a，分类讨论求得x的范围．
（2）当a＞2时，∁_UA=∅，不合题意；当a≤2时，∁_UA={x|a-4≤x≤-a}．求得B=Z，当（∁_UA）∩B有3个元素时，a就满足$\left\{{\begin{array}{l}{a＜2}\\{-4＜a-4≤-3}\\{-1≤-a＜0}\end{array}}\right.$，由此可以得到a的范围．

解答 解：（1）由|x+2|+a-2＞0可以得到：|x+2|＞2-a．
当a＞2时，解集是R；当a≤2时，解集是{x|x＜a-4或x＞-a}．
（2）（i）当a＞2时，∁_UA=∅，不合题意；
（ii）当a≤2时，∁_UA={x|a-4≤x≤-a}．
因$\sqrt{3}sin（πx-\frac{π}{6}）+cos（πx-\frac{π}{6}）$=$\sqrt{3}$sinπxcos$\frac{π}{6}$-$\sqrt{3}$cosπxsin$\frac{π}{6}$+cosπxcos$\frac{π}{6}$+sinπxsin$\frac{π}{6}$=2sinπx，
由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z），即x=k，k∈Z，所以B=Z．
当（∁_UA）∩B有3个元素时，a就满足$\left\{{\begin{array}{l}{a＜2}\\{-4＜a-4≤-3}\\{-1≤-a＜0}\end{array}}\right.$，可以得到0＜a≤1．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，两角和差的三角公式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．