Question

9．（1）已知函数f（x）=ax+lnx，则当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，-$\frac{1}{a}$），f（x）的单调减区间是（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x，a≠0，若函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下，a＜0，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．
（2）F（x）=f（x）-g（x），F′（x）=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，令F'（x）≤0在[1，4]上恒成立即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
当a＜0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜-$\frac{1}{a}$；令f′（x）＜0，解得x＞-$\frac{1}{a}$．
则f（x）的增区间为（0，-$\frac{1}{a}$），减区间为（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）F（x）=f（x）-g（x），F′（x）=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$
依题意F'（x）≤0在[1，4]上恒成立，
即ax²+2x-1≥0在[1，4]上恒成立．
则a≥$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1在[1，4]上恒成立，
即a≥（（$\frac{1}{x}$-1）²-1）_max（1≤x≤4）
当x=4时，（$\frac{1}{x}$-1）²-取最大值-$\frac{7}{16}$，
∴a的取值范围是（-$\frac{7}{16}$，+∞）．

点评 本题考查函数的单调区间，考查运用导数求单调区间，考查恒成立问题，属于中档题．