Question

16．已知关于x的不等式kx²-2x+6k＜0，（k＞0）若不等式的解集为集合{x|2＜x＜3}的子集，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 设f（x）=kx²-2x+6k，原问题等价于原问题等价于△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≥0}\\{f（3）≥0}\\{2≤\frac{1}{k}≤3}\end{array}\right.$，由此求出k的取值范围

解答 解∵不等式对应的方程kx²-2x+6k=0的判别式为
△=4-24k²，
设f（x）=kx²-2x+6k，
则原问题等价于△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≥0}\\{f（3）≥0}\\{2≤\frac{1}{k}≤3}\end{array}\right.$；
由△≤0，即4-24k²≤0，
解得k≤-$\frac{\sqrt{6}}{6}$或k≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
又∵k＞0，∴k≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≥0}\\{f（3）≥0}\\{2≤\frac{1}{k}≤3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{10k-4≥0}\\{15k-6≥0}\\{2≤\frac{1}{k}≤3}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{5}$≤k≤$\frac{1}{2}$；
综上，符合条件的k的取值范围是[$\frac{2}{5}$，+∞）．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，解题时应对字母系数进行分析、讨论，是中档题．