Question

5．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，他的后墙利用后墙不花钱，正面用铁栅栏，每一米长造价是40元，两侧砌墙砖，每米造价是45元，顶部每1m²造价20元．
（1）计算仓库底面积的最大允许值s是多大？
（2）为使S最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅栏应设计多长？

Answer 1

分析 （1）通过设正面铁栅栏的长度为x米、侧面长为y米，列出关系式40x+2y×45+20xy=3200，利用基本不等式可知40x+90y≥120$\sqrt{xy}$（当且仅当40x=90y取等号），进而解不等式3200≥120$\sqrt{xy}$+20xy，计算即得结论；
（2）通过（1）可知当40x=90y时S取最大值100，利用xy=100计算即得结论．

解答 解：（1）设正面铁栅栏的长度为x米，侧面长为y米，
则40x+2y×45+20xy=3200，
即40x+90y+20xy=3200，
∵40x+90y≥2$\sqrt{40x•90y}$=120$\sqrt{xy}$（当且仅当40x=90y取等号），
∴3200≥120$\sqrt{xy}$+20xy，即xy+6$\sqrt{xy}$-160≤0，
解得：0＜$\sqrt{xy}$≤10，即0＜xy≤100，
故仓库底面积的最大允许值S为100；
（2）由（1）可知当40x=90y时S取最大值100，
又∵xy=100，
∴x=15，y=$\frac{20}{3}$，
∴此时正面铁栅栏应设计为15米．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．