Question

【题目】已知函数在处的切线方程为.

(1)求实数及的值；

(2)若有两个极值点，，求的取值范围并证明.

Answer 1

【答案】（1），；（2），见解析.

【解析】

(1)根据导数的几何意义即可求出，再利用切点既在函数图象上也在切线上，可得，即可求出的值；

(2)有两个极值点，，问题转化为，即有两个不相等的正实根，对分为，讨论，对时再结合判别式及对称轴再分为和，即可求出的取值范围；而，利用根与系数的关系求出，，代入即可得到答案．

(1)，由已知得，故，所以，

，，解得.

(2)由(1)可知，所以，

，

当时，，在上为增函数，没有极值点，

当时，令，其对称轴方程为，，

①若时，，此时且不恒为零，

在上为减函数，没有极值点.

②若时，，由，即，

则的两根为，不妨设，

由，，，故

		极小值		极大值

综上可知：求的取值范围是.

此时，，所以，

由，得，故