Question

【题目】过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称．

（1）求直线的方程；

（2）求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析： 根据离心率大小可以得到的值，设出椭圆的方程；因为在椭圆上，代入椭圆方程，得到两个等式，根据这两个等式表示出直线的斜率。直线过线段的中点，故该中点满足，由此可以求出的关系，代入直线斜率的表达式中即可求得，又直线过点，故可求出直线的方程；

椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称，列出方程组，求出的值，从而得到椭圆的方程。

解析：（1）由，得，从而

设椭圆方程为

在椭圆上，则两式相减得，

设的中点为则又在直线上， ，于是

，则直线的方程为.

（2）右焦点关于直线的对称点设为

则解得

由点在椭圆上，得，

所求椭圆的方程的方程为.