题目内容
【题目】在数列中,
,且对任意
,
成等差数列,其公差为
.
(1)若,求
的值;
(2)若,证明
成等比数列(
);
(3)若对任意,
成等比数列,其公比为
,设
,证明数列
是等差数列.
【答案】(1),
.(2)见证明;(3)见证明;
【解析】
(1)由成等差数列且公差为2可计算
的值.
(2)由可得
,再根据
得到
,从而可证
成等比数列.
(3)利用成等比数列且公比为
可得
,对该递推关系变形后可得
为等差数列.
(1)因为对任意,
成等差数列,
所以当时,
成等差数列且公差为2,
故,故
.
(2)证明:由题设,可得,
.所以
,
由得,
,
从而,所以
.
于是,
所以当时,对任意的
,
成等比数列.
(3)由成等差数列,及
成等比数列,
可得,所以
,
当时,可知
,
,
从而,即
,
所以数列是公差为1的等差数列.
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