题目内容
【题目】《山东省高考改革试点方案》规定:从年高考开始,高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为
八个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为
.选考科目成绩计入考生总成绩时,将
至
等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则分别转换到
八个分数区间,得到考生的等级成绩.
某校级学生共
人,以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩,为学生合理选科提供依据,其中物理成绩获得等级
的学生原始成绩统计如下
成绩 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 86 | 85 | 84 | 83 | 82 |
人数 | 1 | 1 | 4 | 2 | 4 | 3 | 3 | 3 | 2 | 7 |
(1)从物理成绩获得等级的学生中任取
名,求恰好有
名同学的等级分数不小于
的概率;
(2)待到本级学生高考结束后,从全省考生中不放回的随机抽取学生,直到抽到名同学的物理高考成绩等级为
或
结束(最多抽取
人),设抽取的学生个数为
,求随机变量
的数学期望(注:
).
【答案】(1)0.29 (2)见解析
【解析】
(1)设物理成绩获得等级的学生原始成绩为
,其等级成绩为
,由原始成绩与等级成绩的转换公式得到
关于
的关系式,即可计算出等级分数不小于
的人数,利用古典概型即可计算出恰好有
名同学的等级分数不小于
的概率。
(2)由题意得,随机抽取人,等级成绩为
或
的概率为
,然后列出学生个数的分布列,即可计算数学期望。
解:(1)设物理成绩获得等级的学生原始成绩为
,其等级成绩为
.
由转换公式,得
.
由,得
.
显然原始成绩满足的同学有
人,获得等级
的学生有
人,
恰好有名同学的等级分数不小于
的概率为:
.
(2)由题意得,随机抽取人,其等级成绩为
或
的概率为
.
学生个数的可能取值为
;
,
,
,
;
其数学期望是:
其中:
①
②
应用错位相减法“①式-②式”得:
故.
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