Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱）中，CA⊥CB，CA＝CB＝CC1＝2，动点D在线段AB上．

（1）求证：当点D为AB的中点时，平面B1CD⊥上平面ABB1A1；

（2）当AB＝3AD时，求平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）推导出，，平面，由此能证明平面上平面．（2），，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

（1）∵在等腰Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴CD⊥AB，

又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，CD平面ABC，

∴B1B⊥CD，∵AB∩B1B＝B，∴CD⊥平面ABB1A1，

又CD平面B1CD，∴平面B1CD⊥上平面ABB1A1．

（2）如图，∵CA，CB，CC1两两垂直，

∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），D，

（0，2，2），，

设平面B1CD的法向量＝（x，y，z），则，令z＝1，得，

平面BB1C1C的法向量＝（2，0，0），

设平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的平面角为θ，

则cosθ＝ ，

∴平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的余弦值为．