Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC，PA=AC，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC，
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）M是线段PA上的动点，当二面角M-BO-D的大小为45°时，求|PM|：|MA|的值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，分别求出OD和PA的方向向量，利用共线向量证明线线平行后，再由线面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；
（2）求出直线PA的方向向量和平面PBC的法向量，代入向量夹角公式，可得直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）设存在满足条件的点M，根据二面角M-BO-D的大小为45°，可得二面角的平面角∠MOD=45°，则在△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，∠AOM=75°，AO=

2

2

a，解△AMO，可得|PM|：|MA|的值．

解答：解：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O为原点，OA，OB，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），
设AB=a，则A（

2

2

a，0，0），B（0，

2

2

a，0），C（-

2

2

a，0，0），
设OP=h，则P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D为PC的中点，
∴

OD

=（-

2

4

a，0，

1

2

h）
又∵

PA

=（

2

2

a，0，h）．
∴

OD

=-

1

2

PA

∴

OD

∥

PA

即OD∥PA
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=AC=

2

a
∴h=

6

2

a，P点坐标为（0，0，

6

2

a），
∴

PA

=（

2

2

a，0，-

6

2

a），

PB

=B（0，

2

2

a，-

6

2

a），

PC

=（-

2

2

a，0，-

6

2

a），
设平面PBC的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m • PB =0 m • PC =0

，即

2 2 ay- 6 2 az=0 - 2 2 x- 6 2 az=0

令z=1，则

m

=（-

3

，

3

，1）
则直线PA与平面PBC所成角θ满足，
sinθ=

| m • PA |

| m |•| PA |

=

21

7

即直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

21

7

（3）设存在满足条件的点M，
∵M点在线段PA上，故可设

PM

=λ

PA

（0≤λ≤1）
∵BO⊥PAC，MO，DO?平面PAC，
∴∠MOD即为二面角M-BO-D的平面角
即∠MOD=45°
由（1）中OD∥PA，可得△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，则∠AOM=75°，
由正弦定理及AO=

2

2

a得
AM=

6 + 2

4

a，PM=（

2

-

6 + 2

4

）a
∴|PM|：|MA|=

6 + 2

4

a：（

2

-

6 + 2

4

）a=(2

3

-3)：1

点评：本题考查线面平行，考查线面夹角，考查存在性问题的探究，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量的方法解决线面角、线线角．