题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)的左、右焦点分别为
,焦距为
,过点
作直线交椭圆
于
两点,
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为的直线
与椭圆相交于
两点,求定点
与交点
所构成的三角形
面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根据题意可得,
,再由
,即可求解.
(2)设直线的方程为
,将直线与椭圆方程联立求得关于
的方程,利用弦长公式求出
,再利用点到直线的距离求出点
到直线
的距离,利用三角形的面积公式配方即可求解.
解(1)由题意的:,
,∴
,
∴
∴椭圆的方程为
(2)∵直线的斜率为
,∴可设直线
的方程为
与椭圆的方程联立可得:
①
设两点的坐标为
,由韦达定理得:
,
∴
点到直线
的距离
,
∴
由①知:,
,
令,则
,∴
令,则
在
上的最大值为
∴的最大值为
综上所述:三角形面积的最大值2.
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