Question

13．设函数f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx+c}$（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，求a的值．

Answer 1

分析 设出函数的定义域D=[x₁，x₂]，由题意可得函数的最值，结合所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，可得关于a，b，c的等式，则答案可求．

解答 解：设定义域D=[x₁，x₂]，
由题意可知，$f（x）_{min}=0，f（x）_{max}=\sqrt{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}}$，
由已知$|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}}$，
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}=（\sqrt{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}}）^{2}=\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
而$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}=\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即a²+4a=0，
∵a＜0，∴a=-4．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，关键是对题意的理解，属中档题．