题目内容
设f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期T=π，最大值为f(| π | 12 |
（1）求ω、a、b的值；
（2）若α、β为方程f（x）=0的两根，且α、β的终边不共线，求tan（α+β）的值．
分析：（1）利用辅助角公式可把已知化简，f（x）=
sin(ωx+φ)，由周期T=π，代入周期公式T=
可求ω，又f（x）的最大值为f(
)=4．可得4=
①，且4=asin
+bcos
②，联立可解a，b
（2）由（1）可得f（x）=4sin（2x+
），由f（α）=f（β）=0?4sin(2α+
)=4sin(2β+
)，
从而有2α+
=2kπ+2β+
，或2α+
=2kπ+π-(2β+
)，整理代入可求
| a2+b2 |
| 2π |
| ω |
| π |
| 12 |
| a2+b2 |
| 2π |
| 12 |
| 2π |
| 12 |
（2）由（1）可得f（x）=4sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
从而有2α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）f（x）=
sin（ωx+φ），
∴T=π，∴
又f（x）的最大值为f(
)=4．
∴4=
①，且4=asin
+bcos
②，
由①、②解出a=2，b=2
．
（2）f（x）=2sin2x+2
cos2x=4sin(2x+
)，
∴f（α）=f（β）=0，
∴4sin(2α+
)=4sin(2β+
)，
∴2α+
=2kπ+2β+
，或2α+
=2kπ+π-(2β+
)，
即α=kπ+β（α、β共线，故舍去），或α+β=kπ+
，
∴tan(α+β)=tan(kπ+
)=
（k∈Z）．
| a2+b2 |
∴T=π，∴
| 2π |
| ω |
| π |
| 12 |
∴4=
| a2+b2 |
| 2π |
| 12 |
| 2π |
| 12 |
由①、②解出a=2，b=2
| 3 |
（2）f（x）=2sin2x+2
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（α）=f（β）=0，
∴4sin(2α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴2α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
即α=kπ+β（α、β共线，故舍去），或α+β=kπ+
| π |
| 6 |
∴tan(α+β)=tan(kπ+
| π |
| 6 |
| ||
| 3 |
点评：本题考查了三角函数的辅助角asinx+bcosx=
sin(x+φ )的运用，周期公式T=
的应用，三角函数的最值的求解，及三角方程的求解，综合的知识比较多，要求考生要熟练掌握三角函数的相关性质，才能熟练解题．
| a2+b2 |
| 2π |
| ω |
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