题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数
的极值;
(Ⅱ)设函数.当
时,若区间
上存在
,使得
,求实数
的取值范围.(
为自然对数底数)
【答案】(1) 极小值为
;(2) 实数
的取值范围为
.
【解析】试题分析:(1)根据函数的切线的几何意义,得到,即
,解得
.从而得到导函数,再研究导函数的正负,得到原函数的单调性从而得到极值;(2)构造函数令
,只需在区间
上
的最小值小于零,转化为函数最值问题。对构造的函数求导,研究单调性求最值即可。
(1),
因为曲线在点
处的切线与直线
的垂直,
所以,即
,解得
.
所以.
∴当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增;
∴当时,
取得极小值
,
∴极小值为
.
(2)令
,
则,欲使在区间上
上存在
,使得
,
只需在区间上
的最小值小于零.
令得,
或
.
当,即
时,
在
上单调递减,则
的最小值为
,
∴,解得
,
∵,∴
;
当,即
时,
在
上单调递增,则
的最小值为
,
∴,解得
,∴
;
当,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
则的最小值为
,
∵,∴
.
∴,此时
不成立.
综上所述,实数的取值范围为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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