题目内容

【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.

(1)当时,求函数的极值;

(2)当时,讨论函数的定义域内的零点个数.

【答案】(1)极大值是;(2)无零点.

【解析】试题分析:(1)求出求得 的范围,可得函数增区间, 求得 的范围,可得函数的减区间,根据单调性可得函数的极值;(2)利用导数研究函数的单调性,可证明函数恒成立,即证明在定义域内无零点.

试题解析:(1)当时,

时, ,所以,则单调增,

时, ,所以,则单调减,

所以的极大值点,极大值是.

2)由已知,当时, ,所以

上递减,又

上有唯一的零点

时,则,所以内单调递增;

时,则,所以内单调递减

.

故当时, ,故

所以当时, 在定义域内无零点.

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