题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)当时,求函数
的极值;
(2)当时,讨论函数
的定义域内的零点个数.
【答案】(1)极大值是;(2)无零点.
【解析】试题分析:(1)求出,
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间,根据单调性可得函数的极值;(2)利用导数研究函数的单调性,可证明函数
恒成立,即证明
在定义域内无零点.
试题解析:(1)当时,
,
当时,
,所以
,则
单调增,
当时,
,所以
,则
单调减,
所以是
的极大值点,极大值是
.
(2)由已知,当
时,
,所以
,
令,
令,
在
上递减,又
,
在
上有唯一的零点
,
,
当时,则
,所以
在
内单调递增;
当时,则
,所以
在
内单调递减
则
.
故当时,
,故
,
所以当时,
在定义域内无零点.

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