题目内容
【题目】如图，椭圆
的离心率为
，其左焦点到点
的距离为
.不过原点
的直线
与
相交于
两点，且线段
被直线
平分.
（1）求椭圆
的方程；
（2）求
的面积取最大值时直线
的方程.
【答案】（1）椭圆
的方程为
；（2）直线
的方程为
.
【解析】试题分析：（1）由题意得到离心率，再结合距离公式即可得： 
， 
所求椭圆
的方程为： 
.（2）易得直线
的方程： 
，用点差法得到
，设直线
的方程为
： 
，与椭圆方程联立得
，由
得到
的取值范围；由弦长公式
，点到直线的距离表示出面积
，即可求出直线
的方程．
试题解析：（1）由题： 
；
左焦点
到点
的距离为： 
.
由可解得： 
.
所求椭圆
的方程为： 
.
（2）易得直线
的方程： 
，设
.其中
.
、
在椭圆上，
.
设直线
的方程为
： 
，
代入椭圆： 
.
显然
.
且
.
由上又有： 
.
.
点
到直线
的距离为： 
.
，
当且仅当
时，三角形的面积最大，此时直线
的方程
.
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