Question

14．已知函数f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+（2+4$\sqrt{3}$）sinxcosx-2cos² x+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的单调区间及最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的单调区间，再利用定义域和值域求得f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+（2+4$\sqrt{3}$）sinxcosx-2cos² x+1
=-$\sqrt{2}$sin2xcos$\frac{π}{4}$-$\sqrt{2}$cos2xsin$\frac{π}{4}$+（1+2$\sqrt{3}$）sin2x-cos2x
=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故函数在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的增区间为[0，$\frac{π}{3}$]．
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）求得最小值为-2；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）求得最大值为4．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，属于中档题．