Question

9．已知f（x）=|log₂x|，g（x）=f（x）-m，函数y=g（x）有两个零点x₁，x₂．
（1）求 f（$\frac{1}{2}$），f（2）的值；
（2）求实数m的取值范围；
（3）求证x₁．x₂=1．

Answer 1

分析 （1）利用对数运算可得f（$\frac{1}{2}$）=|log₂$\frac{1}{2}$|=1，f（2）=|log₂2|=1；
（2）作函数f（x）=|log₂x|的图象，从而确定实数m的取值范围；
（3）由题意可得|log₂x₁|=|log₂x₂|，即log₂x₁+log₂x₂=0，从而证明．

解答 解：（1）f（$\frac{1}{2}$）=|log₂$\frac{1}{2}$|=1，f（2）=|log₂2|=1；
（2）作函数f（x）=|log₂x|的图象如下，

结合图象可知，实数m的取值范围为（0，+∞）；
（3）证明：∵x₁，x₂是函数y=g（x）的两个零点，
∴|log₂x₁|=|log₂x₂|，
即log₂x₁+log₂x₂=0，
即log₂（x₁x₂）=0，
故x₁．x₂=1．

点评 本题考查了对数函数的应用及对数运算的应用．