Question

19．已知函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$（ω＞0）的图象与直线$y=\frac{3}{2}$相切，相邻切点之间的距离为3π．
（1）求ω的值；
（2）设a是第一象限角，且f（$\frac{3}{2}$a+$\frac{π}{2}$）=$\frac{23}{26}$，求$\frac{sin（a+\frac{π}{4}）}{cos（π+2a）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为3π，又ω＞0，利用周期公式即可得解．
（2）由（1）知f（$\frac{3}{2}$a+$\frac{π}{2}$）=cos$α+\frac{1}{2}$=$\frac{23}{26}$，解得cos$α=\frac{5}{13}$，可求sin$α=\frac{12}{13}$，利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值．

解答 解：（1）因为f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
所以，函数f（x）的最小正周期为3π，又ω＞0，$ω=\frac{1}{3}$，
（2）由（1）知f（x）=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
所以f（$\frac{3}{2}$a+$\frac{π}{2}$）=sin（$α+\frac{π}{2}$）+$\frac{1}{2}$=cos$α+\frac{1}{2}$=$\frac{23}{26}$，
解得cos$α=\frac{5}{13}$，
因为α是第一象限角，故sin$α=\frac{12}{13}$，
∴$\frac{sin（a+\frac{π}{4}）}{cos（π+2a）}$=$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{-cos2α}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2（cosα-sinα）}$=$\frac{13\sqrt{2}}{14}$．

点评 本题主要考查了三角函数周期公式，三角函数恒等变换的应用，考查了由y=Asin（ωx+φ）的图象确定其解析式，属于基础题．