Question

17．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的左右焦点分别记为F₁，F₂，若P为双曲线的渐近线上一点，若|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，且|PF₂|=a（a为实半轴长），求双曲线的离心率$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 运用向量数量积的性质，平方可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，即有P在以F₁F₂为直径的圆上，求得渐近线方程和圆方程，解得交点P，再由条件，结合a，b，c的关系和离心率公式及范围，即可得到所求值．

解答 解：若|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
则（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）²=（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）²，
化简可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
即有P在以F₁F₂为直径的圆上，
设P（m，n），双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），
联立圆x²+y²=c²，和渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
解方程不妨设P（a，b），
由|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=a，即为（a-c）²+b²=a²，
由a²+b²=c²，e=$\frac{c}{a}$＞1，
化简可得2e²-2e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
故双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的性质，考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．