题目内容
7.在圆x2+y2=r2中,AB为直径,C为圆上异于A、B的任意一点,则有kAC•kBC=-1.用类比的方法,对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0),也能得出类似的结论:若设A为椭圆上的任意一点,点A关于椭圆中心的对称点为B,点C为椭圆上异于A、B的任意一点,则kAC•kBC=$-\frac{b^2}{a^2}$.分析 由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质.
解答 解:由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质,即kAC•kBC=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$,
证明如下:设点A的坐标为(m,n),则点B的坐标为(-m,-n),进而可知$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$,
又设点C的坐标为(x,y),
则kAC=$\frac{y-n}{x-m}$,kBC=$\frac{y+n}{x+m}$
∴kAC•kBC=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$,
将y2=b2(1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$),n2=b2(1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$)代入得kAC•kBC=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$.
故答案为:-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$.
点评 类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).
练习册系列答案
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