Question

半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.则四边形OACB的面积最大值是         。

Answer 1

2＋

设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得
AB²＝1²＋2²－2×1×2cosα＝5－4cosα，于是，四边形OACB的面积为
S＝S_△AOB＋S_△ABC＝OA·OBsinα＋AB²
＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)
＝sinα－cosα＋
＝2sin(α－)＋
∵0＜α＜π，
∴当α－＝，α＝π，即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大为2＋.