Question

（理科班）(12分)已知R,函数e.
(1)若函数f(x)存在极大值,并记为g(m),求g(m)的表达式;
（2）当m=0时,求证:.

Answer 1

(文科班) (1) a="4,b=24." (2)见解析

此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据导函数的正负判断函数的得到区间，是一道中档题．
（1）求出f（x）的导函数，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=2相切，把x=1代入导函数得到导函数值为0，把x=1代入f（x）中得到函数值为2，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a和b的值；
（2）把导函数分解因式，分a大于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，即可得到函数的单调区间．
解： (1)f′(x)=3x²-3a,因为曲线y=f(x)在点(2，f(2))处与直线y=8相切?，所以即
解得a=4,b=24.……………………6分
(2)f′(x)=3(x²－a)(a≠0).当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞,+∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点.?……………8分
当a>0时，由f′(x)=0得x=±.
当x∈(－∞,－,)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－,)时，f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(,+∞)时，f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时x=－是f(x)的极大值点，x=是f(x)的极小值点. ……………12分