Question

【题目】已知向量，，函数.

（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；

（2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和.

Answer 1

【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为；（2）.

【解析】

（1）结合向量的数量积的坐标运算，化简求得，再利用三角函数的图象与性质，即可求解；

（2）根据三角函数的图象变换，求得，结合函数的零点的概念和正弦函数的图象的性质，即可求解.

（1）由题意，向量，，

所以

.

可得，即函数的最小正周期为，

令，解得

所以函数的最小正周期为，对称轴方程为.

（2）由（1）知，

将的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得，

然后将向左平移个单位长度得到函数，

令，即，

由图可知，在上有4个零点：，，，，

根据对称性有，，

所以所有零点和为.