题目内容
【题目】已知向量
，
，函数
.
（1）求
的最小正周期及图象的对称轴方程；
（2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移
个单位长度得到函数
的图象，求函数
在区间
内的所有零点之和.
【答案】（1）最小正周期为
，对称轴方程为
；（2）
.
【解析】
（1）结合向量的数量积的坐标运算，化简求得
，再利用三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据三角函数的图象变换，求得
，结合函数的零点的概念和正弦函数的图象的性质，即可求解.
（1）由题意，向量
，
，
所以
.
可得
，即函数的最小正周期为，
令
，解得
所以函数
的最小正周期为，对称轴方程为.
（2）由（1）知，
将的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得
，
然后将向左平移
个单位长度得到函数，
令
，即
，
由图可知，在
上有4个零点：
，
，
，
，
根据对称性有
，
，
所以所有零点和为
.
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