Question

【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥底面ABC，AC⊥BC,四边形BB1C1C为正方形，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.

求证：（1）DE∥平面AA1C1C;

(2)BC1⊥平面AB1C.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意中的几何关系可得：DE∥AC,结合线面平行的判断定理可证得DE∥平面AA1C1C;

(2)由题意可得：AC⊥BC1, BC1⊥B1C,利用线面垂直的判断定理可得BC1⊥平面AB1C.

试题解析：

证明:(1)因为四边形BB1C1C为正方形,

所以E为B1C的中点,又D为AB1的中点,所以DE为△AB1C的中位线,所以DE∥AC,

又,所以DE∥平面AA1C1C;

(2)因为AA1⊥底面ABC,且ABC-A1B1C1为三棱柱,

所以CC1⊥底面ABC,又,所以CC1⊥AC,

又AC⊥BC,BC∩CC1=C, ,所以AC⊥平面,

又B ,所以AC⊥BC1,又四边形BB1C1C为正方形,所以BC1⊥B1C,

又AC∩CB1=C, ,所以BC1⊥平面AB1C.