题目内容
【题目】椭圆
:
的左、右焦点分别为
、
，若椭圆过点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若
为椭圆的左、右顶点， 
（
）为椭圆上一动点，设直线
分别交直线
： 
于点
，判断线段
为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.
【答案】(1) 
；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程 并与离心率联立方程组，解得
， 
（2）根据点斜式得直线
方程，与直线
联立解得点
坐标，根据向量关系得
为直径的圆方程，最后代人椭圆方程进行化简，并根据恒等式成立条件求定点坐标.
试题解析：(1)由已知
，
∴
①
∵椭圆过点
，
∴
②
联立①②得
， 
∴椭圆方程为
（2）设
，已知
∵
，∴
∴
都有斜率
∴
∴
③
∵
∴
④
将④代入③得
设
方程
∴
方程
∴
由对称性可知，若存在定点，则该定点必在
轴上，设该定点为
则
∴
∴
，∴
∴存在定点
或
以线段
为直径的圆恒过该定点.
点睛：定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为
，然后利用条件建立
等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数
，曲线
在
处的切线经过点
.
（1）证明： 
；
（2）若当
时， 
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
.
【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为
，再根据切线过点
，解得
导数可得导函数零点，列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性，根据函数单调性可得函数最小值为0，即得结论，（2）先化简不等式为
，分离得
，再利用导数求函数
单调性，利用罗伯特法则求最大值，即得
的取值范围.
试题解析：（1）曲线
在
处的切线为
，即
由题意得
，解得
所以
从而
因为当
时， 
，当
时， 
.
所以
在区间
上是减函数，区间
上是增函数，
从而
.
（2）由题意知，当
时， 
，所以
从而当
时， 
，
由题意知
，即
，其中
设
，其中
设
，即
，其中
则
，其中
（1）当
时，因为
时， 
，所以
是增函数
从而当
时， 
，
所以
是增函数，从而
.
故当
时符合题意.
（2）当
时，因为
时， 
，
所以
在区间
上是减函数
从而当
时， 
所以
在
上是减函数，从而
故当
时不符合题意.
（3）当
时，因为
时， 
，所以
是减函数
从而当
时， 
所以
是减函数，从而
故当
时不符合题意
综上
的取值范围是
.
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