题目内容

6.函数y=$\frac{1-x}{1-x+{x}^{2}}$的值域是[-$\frac{1}{3}$,1].

分析 可将原函数整理成关于x的方程的形式:yx2+(1-y)x+y-1=0,方程有解,显然需讨论y=0和y≠0两种情况:y=0时容易得出满足条件,而y≠0时,前面方程为一元二次方程,从而有判别式△≥0,合并这两种情况得到的y的取值,从而得出该函数的值域.

解答 解:由原函数得:y-yx+yx2=1-x;
整理得,yx2+(1-y)x+y-1=0,看成关于x的方程,方程有解;
①若y=0,x=1,满足方程有解;
②若y≠0,上面方程为一元二次方程,方程有解;
∴△=(1-y)2-4y(y-1)≥0;
解得$-\frac{1}{3}≤y≤1$;
∴综上得原函数的值域为$[-\frac{1}{3},1]$.
故答案为:[$-\frac{1}{3}$,1].

点评 考查函数值域的概念,形容y=$\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数值域的求法:整理成关于x的方程,根据方程有解求,一元二次方程有解时判别式△的取值情况,不要漏了讨论a=0的情况.

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