题目内容
(本小题满分14分)
在数列中,=0,且对任意k,成等差数列,其公差为2k.
(Ⅰ)证明成等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)记,证明.
在数列中,=0,且对任意k,成等差数列,其公差为2k.
(Ⅰ)证明成等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)记,证明.
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)见解析
(本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法,满分14分。
(I)证明:由题设可知,,,,,
。
从而,所以,,成等比数列。
(II)解:由题设可得
所以
.
由,得 ,从而.
所以数列的通项公式为或写为,。
(III)证明:由(II)可知,,
以下分两种情况进行讨论:
(1) 当n为偶数时,设n=2m
若,则,
若,则
.
所以,从而
(2) 当n为奇数时,设。
所以,从而
综合(1)和(2)可知,对任意有
(I)证明:由题设可知,,,,,
。
从而,所以,,成等比数列。
(II)解:由题设可得
所以
.
由,得 ,从而.
所以数列的通项公式为或写为,。
(III)证明:由(II)可知,,
以下分两种情况进行讨论:
(1) 当n为偶数时,设n=2m
若,则,
若,则
.
所以,从而
(2) 当n为奇数时,设。
所以,从而
综合(1)和(2)可知,对任意有
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