题目内容

(本小题满分14分)
在数列中,=0,且对任意k成等差数列,其公差为2k.
(Ⅰ)证明成等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)记,证明.
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)见解析
(本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法,满分14分。
(I)证明:由题设可知,

从而,所以成等比数列。
(II)解:由题设可得
所以

.
,得 ,从而.
所以数列的通项公式为或写为
(III)证明:由(II)可知
以下分两种情况进行讨论:
(1)      当n为偶数时,设n=2m
,则
,则


.
所以,从而
(2)      当n为奇数时,设


所以,从而
综合(1)和(2)可知,对任意
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