题目内容
19．若数列{an}，a1=$\frac{2}{3}$，且an+1=an+$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$（n∈N），则通项an=$\frac{7}{6}-\frac{1}{n+1}$．分析 把已知的数列递推式变形裂项，然后利用累加法求得数列的通项公式．
解答 解：∵an+1=an+$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$，
∴an+1-an=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
又a1=$\frac{2}{3}$，
则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+…+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$
=$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{n+1}=\frac{7}{6}-\frac{1}{n+1}$．
故答案为：$\frac{7}{6}-\frac{1}{n+1}$．
点评 本题考查数列递推式，考查了裂项相消法及累加法求数列的通项公式，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
9．若1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}＞\frac{127}{64}，n∈{N}^{*}$，则n的最小值为（ ）
| A． | 6 | B． | 7 | C． | 8 | D． | 9 |
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则a10=（ ）
| A． | $\frac{{3}^{7}}{{2}^{8}}$ | B． | $\frac{{3}^{7}}{{2}^{9}}$ | C． | $\frac{{3}^{8}}{{2}^{8}}$ | D． | $\frac{{3}^{8}}{{2}^{9}}$ |