Question

【题目】对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．

（1）若数列{an}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；

（2）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{an}，整数k不是数列{an}中的项；

（3）已知数列{an}，{bn}∈Ω（d），记{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn．若|an+1|≤|bn+1|，求证：An≤Bn．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）推导出，，，，由此能求出的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列，则具有，（）的形式，由此能证明取整数，则整数均不是数列中的项；（3）由，得：，从而，由此利用累加法得，从而，同理，由此能证明．

（1）由于数列{an}∈Ω（2），即d=2，a1=1．

由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，

|a3|=|a2+d|=|a2+2|，

将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．

证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：

若{an}∈Ω（d），则an具有md±1，（m∈Z）的形式．

①当n=1时，a1=0d+1，因此n=1时结论成立．

②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得ak=m0d0±1成立．

当n=k+1时，|an+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，

ak+1=（m0+1）d±1，或ak+1=-（m0+1）±1，

所以当n=k+1时结论也成立．

由①②可知，若数列{an}∈Ω（d）对任意n∈N*，an具有md±1（m∈Z）的形式．

由于an具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得an不是d的整数倍．

故取整数k=d，则整数k均不是数列{an}中的项

（3）由|an+1|=|an+d|，可得：=，

所以有=+2and+d2，

=+2an-1d+d2，

，

…

=，

以上各式相加可得，

即An=-，同理Bn=-，

当时，有，

∵d∈N*，∴≤，

∴≤-，

∴