Question

11．已知函数f（x）=3x²-6x-1．
（1）求不等式f（x）＞8的解集；
（2）设g（x）=f（x）-4x²+mx-3，若任意x∈R，都有g（x）＜0，求m的取值范围；
（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b+4在区间[1，3]的解集非空，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞8可化为：3x²-6x-9＞0，即x²-2x-3＞0，解得答案；
（2）若任意x∈R，都有g（x）＜0，则△=（m-6）²-16＜0，解得m的取值范围；
（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b+4在区间[1，3]的解集非空，则不等式2x²+2ax-（a+b+5）≤0在区间[1，3]的解集非空，构造函数ϕ（x）=2x²+2ax-（a+b+5），求其最小值，可得实数b的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）＞8可化为：3x²-6x-9＞0，
即x²-2x-3＞0，
解得：x＜-1或x＞3，
故原不等式的解集为：{x|x＜-1或x＞3}；
（2）g（x）=f（x）-4x²+mx-3=-x²+（m-6）x-4，
若任意x∈R，都有g（x）＜0，
则△=（m-6）²-16＜0，
解得：2＜m＜10； 
（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b+4在区间[1，3]的解集非空，
则对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式2x²+2ax-（a+b+5）≤0在区间[1，3]的解集非空，
令ϕ（x）=2x²+2ax-（a+b+5），则函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{a}{2}$，
由$-\frac{a}{2}∈[-1，-\frac{1}{2}]$得：ϕ_min（x）=ϕ（1）=a-b-3，
所以只要当a∈[1，2]时，a-b-3≤0恒成立即可
即当a∈[1，2]时，b≥a-3恒成立，
所以实数b的取值范围是[-1，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．