题目内容
【题目】已知,函数
.
(1)若,证明:函数
在区间
上是单调增函数;
(2)求函数在区间
上的最大值;
(3)若函数的图像过原点,且
的导数
,当
时,函数
过点
的切线至少有2条,求实数
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)当时,最大值为
;当
时,最大值为
(3)
【解析】
(1)由题,利用导函数求单调区间即可;
(2)利用导数可以推导得到在区间
上是减函数,在区间
上是增函数,则当
时,
的最大值为
和
中的最大值,作差可得
,设
,再次利用导数推导
的单调性,进而得到
上的最大值;
(3)由题可得,设切点为
,则
处的切线方程为:
,将
代入可得
,则将原命题等价为关于
的方程至少有2个不同的解,设
,进而利用导函数判断
的单调性,从而求解即可
(1)证明:,则
,
当
时,
,
,即此时函数
在区间
上是单调增函数.
(2)由(1)知,当时,函数
在区间
上是单调增函数,
当时,
,则
,
,则
在区间
上是单调减函数;
同理,当时,
在区间
上是单调增函数,在区间
上是单调减函数;
即当,且
时,
在区间
上是减函数,在区间
上是增函数,
则当时,
的最大值为
和
中的最大值,
,
令
,
则,
在
上为增函数,
,
当
时,
,即
,此时最大值为
;
当时,
,即
,此时最大值为
.
(3),
,
的图像过原点,
,即
,则
,
设切点为,则
处的切线方程为:
,
将代入得
,
即(※),
则原命题等价为关于的方程(※)至少有2个不同的解,
设,
则,
令,
,
,
当和
时,
,此时函数
为增函数;
当时,
,此时函数
减函数,
的极大值为
,
的极小值为
,
设,则
,则原命题等价为
,即
对
恒成立,
由
得
,
设,则
,
令,则
,
,当
时,
;当
时,
,
即在
上单调递增,在
上单调递减,
的最大值为
,
,
故,
综上所述,当时,函数
过点
的切线至少有2条,此时实数m的值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某冰糖橙,甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称。该橙按照等级可分为四类:珍品、特级、优级和一级(每箱有5kg),某采购商打算订购一批橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表:
等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
箱数 | 40 | 30 | 10 | 20 |
(1)若将频率改为概率,从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱,求恰好抽到2箱是一级品的概率:
(2)利用样本估计总体,庄园老板提出两种购销方案供采购商参考:
方案一:不分等级卖出,价格为27元/kg;
方案二:分等级卖出,分等级的橙子价格如下:
等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
售价(元/kg) | 36 | 30 | 24 | 18 |
从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案?
(3)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱,再从抽取的10箱中随机抽取3箱,X表示抽取的是珍品等级,求x的分布列及数学期望E(X).