Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AD上移动．求AE等于何值时，二面角D₁ECD的大小为

π

4

？

Answer 1

分析：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=x，设平面D₁EC的法向量

n

，通过

n • D1C =0 n • CE =0

求出

n

，然后cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

2

求出二面角的大小．

解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．
设平面D₁EC的法向量

n

=（a，b，c），
∴

CE

=（1，x-2，0），

D1C

=（0，2，-1），

DD1

=（0，0，1）．
由

n • D1C =0 n • CE =0

 ?

2b-c=0 a+b(x-2)=0

．
令b=1，
∴c=2，a=2-x．∴

n

=（2-x，1，2）．
依题意，cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

2

?

2

(x-2)2+5

=

2

2

．
∴x1=2+

3

（不合题意，舍去），x2=2-

3

．
∴AE=2-

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

点评：本题是中档题，考查二倍角的应用，利用空间直角坐标系，求解二面角时，注意法向量的求法是解题的关键，考查计算能力．