Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F₁，F₂分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且＋5＝0.
 
(1)求椭圆E的离心率； (2)已知点D(1，0)为线段OF₂的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF₁并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k₁、k₂，试问是否存在常数λ，使得k₁＋λk₂＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）（2）－

(1)∵＋5＝0，∴＝5 .∴a＋c＝5(a－c)，化简得2a＝3c，故椭圆E的离心率为.
(2)存在满足条件的常数λ，λ＝－.点D(1，0)为线段OF₂的中点，∴c＝2，从而a＝3，b＝，左焦点F₁(－2，0)，椭圆E的方程为＝1，设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，P(x₃，y₃)，Q(x₄，y₄)，则直线MD的方程为x＝y＋1，代入椭圆方程＝1，整理得，y²＋y－4＝0.∵y₁＋y₃＝，∴y₃＝.从而x₃＝，故点P .同理，点Q .∵三点M、F₁、N共线，∴，从而x₁y₂－x₂y₁＝2(y₁－y₂)．从而k₂＝，故k₁－＝0，从而存在满足条件的常数λ＝－