Question

如图,已知抛物线C₁:x²+by=b²经过椭圆C₂:+=1(a>b>0)的两个焦点.

(1)求椭圆C₂的离心率;
(2)设点Q(3,b),又M,N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C₁上,求C₁和C₂的方程.

Answer 1

（1）  （2）x²+y=1   +y²=1

解:(1)因为抛物线C₁经过椭圆C₂的两个焦点F₁(-c,0),F₂(c,0),
所以c²+b×0=b²,
即c²=b².
又a²=b²+c²=2c²,
所以椭圆C₂的离心率e=.
(2)由(1)可知a²=2b²,
椭圆C₂的方程为+=1.
联立抛物线C₁的方程x²+by=b²,
得2y²-by-b²=0,
解得y=-或y=b(舍去),
所以x=±b,
即M（b,-）,N（b,-）,
所以△QMN的重心坐标为(1,0).
因为重心在C₁上,
所以1²+b×0=b²,得b=1.
所以a²=2.
所以抛物线C₁的方程为x²+y=1,
椭圆C₂的方程为+y²=1.