题目内容

4.已知互不相等的正数a,b,c,d,p,q满足a,c,b,d成等差数列,a,p,b,q成等比数列,则(  )
A.c<p,d>qB.c>p,d>qC.c>p,d<qD.c<p,d<q

分析 设公差为n,公比为m,且n≠0、m>0、m≠1,由等差、等比数列的通项公式分别求出c、b、d、p、q,建立n、m的关系式,利用作差法比较出c和p的大小,化简d-q后构造函数f(m),求出此函数的导数,判断出函数的单调性、求出最大值,即可判断出d和q大小关系.

解答 解:设公差为n,公比为m,且n≠0、m>0、m≠1,
则c=a+n、b=a+2n、d=a+3n,p=am、b=am2、q=am3
所以a+2n=am2,得n=$\frac{1}{2}(a{m}^{2}-a)$,
所以c-p=a+n-am=a+$\frac{1}{2}(a{m}^{2}-a)$-am=$\frac{1}{2}a({m}^{2}-2m+1)$=$\frac{1}{2}a({m-1)}^{2}$>0,
则c-p>0,即c>p,
d-q=a+3n-am3=a+$\frac{3}{2}(a{m}^{2}-a)$-am2=$\frac{3}{2}a({-2m}^{3}+3{m}^{2}-1)$,
设f(m)=-2m3+3m2-1,则f′(m)=-6m2+6m,
因为m>0、m≠1,所以当0<m<1时,f′(m)>0,当m>1时,f′(m)<0,
所以函数f(m)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,
则f(m) 的最大值是f(1)=0,即f(m)<f(1)=0,
综上可得,d-q<0,则d<q,
故选:C.

点评 本题考查了等差、等比数列的通项公式,导数与函数的单调性、最值的关系,以及作差法、构造函数法的综合应用,考查化简、变形能力.

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