Question

5．已知圆M经过A（1，-2），B（-1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2．
（1）求圆M的方程；
（2）若P（2，$\frac{1}{2}$）为圆内一点，求过点P被圆M截得弦长最短时的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆M的方程；
（2）求出k_MP=$\frac{1}{2}$，可得过点P被圆M截得弦长最短时的直线l的斜率为-2，即可得到结论．

解答 解：（1）设圆M的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0
根据圆M过A（1，-2），B（-1，0）得：1+4+D-2E+F=0①
1-D+F=0      ②----------（2分）
令x=0，得y²+Ey+F=0，所以y₁+y₂=-E
令y=0，得x²+Dx+F=0，所以x₁+x₂=-D
所以-D-E=2③----------（4分）
由①②③得D=-2，E=0，F=-3，
所以圆M的方程x²+y²-2x-3=0----------（6分）
（2）圆M的标准方程为：（x-1）²+y²=4，所以圆心M（1，0），半径r=2，
k_MP=$\frac{1}{2}$，所以过点P被圆M截得弦长最短时的直线l的斜率为-2
所以直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=-2（x-2），即4x+2y-9=0---------（12分）

点评 本题主要考查直线、圆的方程的求解以及直线和圆的位置关系，利用待定系数法是解决本题的关键．