题目内容
10．已知抛物线C：x2=4y．（1）若点P（x0，y0）是抛物线C上一点，求证：过点P的抛物线C的切线方程为x0x=2（y+y0）
（2）点M是抛物线C准线上一点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，求|AB|的最小值的点M的坐标．
分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，化简可得所求方程；
（2）求出抛物线的焦点和准线方程，设出切点为A（x1，y1），B（x2，y2），M（t，-1），求得切线MA．，MB的方程，进而得到切点弦方程，可得经过焦点F，即可得到AB的最小值为抛物线的通径长，可得M的坐标．
解答 解：（1）证明：y=$\frac{1}{4}$x2的导数为y'=$\frac{1}{2}$x，
则过点P的抛物线C的切线斜率为$\frac{1}{2}$x0，
切线方程为y-y0=$\frac{1}{2}$x0（x-x0），
即为y-y0=$\frac{1}{2}$x0x-$\frac{1}{2}$x02=$\frac{1}{2}$x0x-2y0，
即为过点P的抛物线C的切线方程为x0x=2（y+y0）；
（2）抛物线C：x2=4y的准线方程为y=-1，焦点F（0，1），
设切点为A（x1，y1），B（x2，y2），M（t，-1），
又y=$\frac{1}{4}$x2的导数为y'=$\frac{1}{2}$x，
则切线MA的方程为：y-y1=$\frac{1}{2}$x1（x-x1），
即y=$\frac{1}{2}$x1x-y1，
切线PB的方程为：y-y2=$\frac{1}{2}$x2（x-x2）即y=$\frac{1}{2}$x2x-y2，
由M（t，-1）是MA、MB交点可知：-1=$\frac{1}{2}$x1t-y1，-1=$\frac{1}{2}$x2t-y2，
∴过A、B的直线方程为-1=$\frac{1}{2}$tx-y，
即$\frac{1}{2}$tx-y+1=0，
所以直线AB：$\frac{1}{2}$tx-y+1=0过定点F（0，1）．
则|AB|的最小值为抛物线的通径长2p=4，
此时M的坐标为（0，-1）．
点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线的位置关系：相切，考查运算能力，属于中档题．
