题目内容
【题目】设,若存在常数
,使得对任意
,均有
,则称
为有界集合,同时称
为集合
的上界.
(1)设、
,试判断
、
是否为有界集合,并说明理由;
(2)已知,记
(
).若
,
,且
为有界集合,求
的值及
的取值范围;
(3)设均为正数,将
中的最小数记为
.是否存在正数
,使得
为有界集合
,
均为正数
的上界,若存在,试求
的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)为有界集合;
不是有界集合.(2)满足题设的实数
的值为
,且实数
的取值范围是
.(3)
【解析】试题分析:(1)根据有界定义,可知有界,
无界(2)当
,
有界,当
时,用数学归纳法可得
,故
为有界集合,当
时,
,
由累加法得,故
不是有界集合(3)不妨设
若
,可证得
;若
,
,所以有上界,
试题解析:(1)对于,由
得
,解得
,
为有界集合;
显然不是有界集合.
(2)记,则
.
若,则
,
,即
,且
,从而
.
(ⅰ)当时,
,所以
,从而
为有界集合.
(ⅱ)当时,由
,
,显然,此时
,利用数学归纳法可得
,故
为有界集合.
(ⅲ)当时,
,
,即
,
由累加法得,故
不是有界集合.
因此,当,且
时,
为有界集合;当
,且
时,
不是有界集合;
若,则
,即
,又
(
),即
(
).于是,对任意
,均有
,即
(
),再由累加法得
,故
不是有界集合.
综上,当,且
时,
为有界集合;当
,且
时,
不是有界集合;
当 (
)时,
不是有界集合.
故,满足题设的实数的值为
,且实数
的取值范围是
.
(3)存在.不妨设.若
,则
,且
.故
,
即;
若,则
,即
,又
,故
,又
,
即 ,因此,
是有界集合
的一个上界.
下证:上界不可能出现.
假设正数出现,取
,
,则
,
此时,
(*)
由式(*)可得,与
是
的一个上界矛盾!.
综上所述,满足题设的最小正数的值为
.
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