Question

（2013•静安区一模）已知数列{a_n}的递推公式为

an=3an-1-2n+3，(n≥2，n∈N*) a1=2

（1）令b_n=a_n-n，求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前 n项和．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，可得

bn

bn-1

=3(n≥2)，利用等比数列的定义，可得结论；
（2）确定数列的通项，利用分组求和，可求数列{a_n}的前n项和．

解答：（1）证明：由题意，b_n=a_n-n=3a_n-1-2n+3-n=3a_n-1-3n+3=3（a_n-1-（n-1））=3b_n-1，n≥2
又b₁=a₁-1=1，所以b_n≠0（n∈N^*），

bn

bn-1

=3(n≥2)
所以，数列{b_n}是以1为首项3为公比的等比数列．（6分）
（2）解：由（1）知，bn=3n-1，a_n=b_n+n（8分）
所以数列{a_n}的前 n项和S_n=（b₁+b₂+…+b_n）+（1+2+…+n）=

3n+n2+n-1

2

（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判定与通项，考查分组求和，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．