Question

【题目】设N=2n（n∈N* ， n≥2），将N个数x1 ， x2 ， …，xN依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN ． 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN ， 将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段 个数，并对每段作C变换，得到P2 ， 当2≤i≤n﹣2时，将Pi分成2i段，每段 个数，并对每段作C变换，得到Pi+1 ， 例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8 ， 此时x7位于P2中的第4个位置．
（1）当N=16时，x7位于P2中的第个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第个位置．

Answer 1

【答案】6；3×2n﹣4+11
【解析】解：（1）当N=16时，P0=x1x2…x16 ． 由C变换的定义可得P1=x1x3…x15x2x4…x16 ，
又将P1分成两段，每段 个数，并对每段作C变换，得到P2 ， 故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16 ， 由此知x7位于P2中的第6个位置；
（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）故每段的数字有2n﹣4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第3×2n﹣4+11=3×2n﹣4+11个位置．
所以答案是3×2n﹣4+11