题目内容
【题目】如图,已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的一个焦点为
,
是椭圆上的一个点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的上、下顶点分别为,
(
)是椭圆上异于
的任意一点,
轴,
为垂足,
为线段
中点,直线
交直线
于点
,
为线段
的中点,如果
的面积为
,求
的值.
【答案】(1).(2)
.
【解析】试题分析:(1)设椭圆方程为,由题意,得
,再由
是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;
(2)根据题意,求出直线AB的方程、点M,C,N的坐标,计算,可得
,再利用
,结合椭圆方程,求解可得结果.
试题解析:(1)设椭圆方程为,由题意,得
. 因为
,所以
.又
是椭圆上的一个点,所以
,解得
或
(舍去),从而椭圆的标准方程为
.
(2)因为,
,则
,且
.因为
为线段
中点, 所以
.又
,所以直线
的方程为
.因为
令
,得
. 又
,
为线段
的中点,有
.
所以.
因此,
=.从而
.
因为,
,
所以在中,
,因此
.从而有
,解得
.
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