题目内容

10.已知x<-2,求函数y=2x+$\frac{1}{x+2}$的最大值.

分析 x<-2,可得-(x+2)>0,变形为函数y=2x+$\frac{1}{x+2}$=-[-2(x+2)+$\frac{1}{-(x+2)}$]-4,利用基本不等式的性质即可得出.

解答 解:∵x<-2,∴-(x+2)>0,
∴函数y=2x+$\frac{1}{x+2}$=-[-2(x+2)+$\frac{1}{-(x+2)}$]-4$≤-2\sqrt{-2(x+2)•\frac{1}{-(x+2)}}$-4=-2$\sqrt{2}$-4,当且仅当x=-2$-\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号.
∴函数y=2x+$\frac{1}{x+2}$的最大值是$-2\sqrt{2}$-4.

点评 本题考查了基本不等式的性质,考查了变形能力与计算能力,属于基础题.

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