题目内容
20.求函数f(x)=sin2xcosx的最大值.分析 令 t=cosx∈[-1,1],求得f(x)=g(t)=t-t3,利用导数研究函数g(t)的单调性,从而求得g(t)的最大值.
解答 解:∵函数f(x)=sinx2cosx=cosx(1-cos2x),令 t=cosx∈[-1,1],
则f(x)=g(t)=t-t3,令g′(t)=1-3t2=0,求得t=±$\frac{1}{3}$.
在(-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$)上,g′(t)>0,故g(t)的一个增区间为(-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$);
在[-1,-$\frac{1}{3}$)、($\frac{1}{3}$,1]上,g′(t)<0,故g(t)减区间为[-1,-$\frac{1}{3}$)、($\frac{1}{3}$,1].
再根据g(-1)=0,g($\frac{1}{3}$)=$\frac{8}{27}$,可得g(t)的最大值为g($\frac{1}{3}$)=$\frac{8}{27}$.
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系,利用导数研究函数的单调性,利用单调性求函数的最值,属于中档题.
练习册系列答案
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5.如图,已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦点,P、Q在渐近线上,PQ的中垂线过点F,O是坐标原点,若∠PFQ=Rt∠,OQ=3OP,则双曲线的离心率等于( )
A. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\frac{5}{4}$ | D. | $\frac{5}{3}$ |
12.某研究机构抽取五名高三学生甲、乙、丙、丁、戊,对他们的记忆力x和判断力y进行统计分析,得到的结果如表所示,根据表中的数据回答下列问题:
(1)从这五名学生中任选两名,求选出的两名学生的记忆力均超过8的概率;
(2)求记忆力x和判断力y的回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$,并据此推测记忆力为20的学生的判断力大约是多少?
(参考公式:$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$)
编号 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 |
x | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
y | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
(2)求记忆力x和判断力y的回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$,并据此推测记忆力为20的学生的判断力大约是多少?
(参考公式:$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$)
2.命题“?x∈R,ex>x2”的否定是( )
A. | 不存在x∈R,使ex>x2 | B. | ?x0∈R,使ex0<x02 | ||
C. | ?x0∈R,使ex0≤x02 | D. | ?x∈R,使ex≤x2 |