Question

5．在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁，a₄，a₈成等比数列．
（1）已知数列{a_n}的前6项和为23，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，且数列{b_n}的前n项和为T_n，若${T_n}=\frac{1}{9}-\frac{1}{n+9}$，求数列{a_n}的公差．

Answer 1

分析 首先由题意求出等差数列的首项和公差的关系．
（1）由等差数列的前6项和为23列式求得首项和公差，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）把${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$裂项，求其前n项和，由${T_n}=\frac{1}{9}-\frac{1}{n+9}$即可求得公差d的值．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁，a₄，a₈成等比数列可得，${{a}_{4}}^{8}={a}_{1}{a}_{8}$，
即$（{a}_{1}+3d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+7d）$，
∴${{a}_{1}}^{2}+6{a}_{1}d+9{d}^{2}={{a}_{1}}^{2}+7{a}_{1}d$，而d≠0，∴a₁=9d．
（1）由数列{a_n}的前6项和为23，得${S}_{6}=6{a}_{1}+\frac{6×5d}{2}=23$，
即6a₁+15d=23，∴54d+15d=23，故d=$\frac{1}{3}$，a₁=3，
故数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}=3+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{1}{3}（n+8）$；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
则数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{d}[（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）+…+（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）]$
=$\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）=\frac{1}{d}（\frac{1}{9d}-\frac{1}{9d+nd}）$=$\frac{1}{{d}^{2}}（\frac{1}{9}-\frac{1}{n+9}）$．
∴$\frac{1}{{d}^{2}}=1$，解得d=±1．
∴数列{a_n}的公差d=1或d=-1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．