Question

【题目】已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）若y=f（x）在[﹣ ， ]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数y=f（x）在 上单调递增，且ω＞0，

∴ ，且 ，

解得 ．

（2）解：f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到 ，

∴函数y=g（x）= ，

令g（x）=0，得 ，或x= （k∈Z）．

∴相邻两个零点之间的距离为 或 ．

若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，

所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，

∴ ．

另一方面，在区间 恰有30个零点，

因此b﹣a的最小值为 ．

【解析】（1）已知函数y=f（x）在 上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得 ，且 ，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2 ．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦函数的单调性和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．