Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn ， 且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn ， n∈N* ．

（1）若 ，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8 ），求θn的最大值及相应n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A（0，t）（t＞0），根据题意，xn=2n﹣1．

由 ，知 ，

而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）= = ，

所以 ，解得t=4或t=8．

故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．

（2）解：由题意，点Pn的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAPn= ．

∴tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn）= = ．

因为 ≥ ，所以tanθn≤ = ，

当且仅当 ，即n=4时等号成立．

∵0＜θn＜ ，y=tanx在（0， ）上为增函数，

∴当n=4时，θn最大，其最大值为 ．

【解析】（1）利用{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；（2）表示出tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．
【考点精析】关于本题考查的基本不等式和两角和与差的正切公式，需要了解基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：；两角和与差的正切公式：才能得出正确答案．