题目内容
【题目】已知关于直线
对称,且圆心在
轴上.
(1)求的标准方程;
(2)已经动点在直线
上,过点
引
的两条切线
、
,切点分别为
.
①记四边形的面积为
,求
的最小值;
②证明直线恒过定点.
【答案】(1)(2)①
②证明见解析
【解析】
(1)根据圆的一般式,可得圆心坐标,将圆心坐标代入直线方程,结合圆心在轴上,即可求得圆C的标准方程。
(2)①根据切线性质及切线长定理,表示出的长,根据圆的性质可知当
最小时,即可求得面积的最小值;②设出M点坐标,根据两条切线可知M、A、C、B四点共圆,可得圆心坐标及半径,进而求得
的方程,根据两个圆公共弦所在直线方程求法即可得直线方程,进而求得过的定点坐标。
(1)由题意知,
圆心在直线
上,即
,
又因为圆心在
轴上,
所以,
由以上两式得:,
,
所以.
故的标准方程为
.
(2)①如图,的圆心为
,半径
,
因为、
是
的两条切线,
所以,
,
故
又因为,
根据平面几何知识,要使最小,只要
最小即可.
易知,当点坐标为
时,
.
此时.
②设点的坐标为
,
因为,
所以、
、
、
四点共圆.
其圆心为线段的中点
,
,
设所在的圆为
,
所以的方程为:
,
化简得:,
因为是
和
的公共弦,
所以,两式相减得
,
故方程为:
,
当时,
,
所以直线恒过定点
.
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